L'equazione di Klein-Gordon

Dato che l'uso della (2.5) non è proponibile il primo tentativo fu quello di mantenere la simmetria fra tempo e spazio usando la relazione di Einstein trovata in (1.50) se quantizziamo questa col solito sistema si ottiene la cosiddetta equazione di Klein-Gordon:

$$-\hbar^2{\partial^2{}\over \partial t^2}\phi({\bf x},t)=\left(-\hbar^2 c^2\nabla^2+m^2 c^4\right) \phi({\bf x},t)$$ (3.6)

che si può riscrivere come:

$$-\hbar^2 c^2 \left({1\over c^2}{\partial^2{}\over \partial t^2}-\nabla^2\right)\phi({\bf x},t) =m^2 c^4 \phi({\bf x},t)$$

cioè, introducendo il dalambertiano, come:

$$\left[\delamb +\left({mc\over \hbar}\right)^2 \right] \phi({\bf x},t)=0$$ (3.7)

e quest'ultima si può riesprimere in forma operatoriale usando la (2.4) come:

$$(p^2 - m^2 c^2) \phi({\bf x}, t)=0$$

dunque l'equazione di Klein-Gordon non esprime altro che il modulo quadro del quadrimpulso.

Il problema di quest'equazione è che si voleva interpretare $\phi({\bf x},t)$ come la funzione d'onda che da la densità di probabilità; per questo però sarebbe necessario trovare una norma definita positiva sullo spazio di queste funzioni, che sia conservata nell'evoluzione temporale.

Per farlo ci servono allora una densità $\rho$ ed una corrente j definite tramite $\phi$ con le quali scrivere una equazione di continuità; nel nostro caso poi, usando un formalismo relativistico, ci converrà cercare direttamente una quadricorrente $j^\mu=(c\rho, {\bf j})$.

Per trovarla si procede in modo analogo a quanto si fa con l'equazione di Schroedinger, si moltiplica la (2.7) per $\phi^*$ e la sua coniugata per $\phi$ e si sottraggono, si ottiene così:

$$\phi^*\delamb \phi- \phi\delamb \phi^* =0$$

che si può anche riscrivere come:

$$\partial_\mu (\phi^*\partial^\mu \phi- \phi\partial^\mu \phi^*)=0$$

che è l'equazione di continuità voluta; si ha allora una corrente conservata:

$$j^\mu={i\hbar \over 2mc} (\phi^*\partial^\mu \phi- \phi\partial^\mu \phi^*) ={1 \over 2mc}(\phi^* p^\mu \phi- \phi p^\mu \phi^*)$$

che si è presa in questa forma per averla adimensionale.

Il problema è che questa corrente non da più luogo ad una densità definita positiva, infatti in questo caso si ha che:

$$\rho= {i\hbar \over 2mc^2} \left(\phi^* {\partial{\phi}\over \partial t}- \phi {\partial{\phi}\over \partial t}^*\right)$$

e questa non è affatto definita positiva, e non è neanche detto che se ad un certo istante $\rho>0$ questo continui a valere in seguito.

Un altro problema nasce dal fatto che avendo preso un'espressione quadratica questa equazione consente anche soluzioni ad energia negativa (corrispondenti alla radice negativa della (1.50)) dovute alla presenza di derivate seconde. Tutto ciò portò ad un rapido abbandono dell'equazione di Klein-Gordon, anche se oggi, interpretando la $\rho$ come una densità di carica e le soluzioni ad energia negativa come antiparticelle si è tornati ad usarla con successo per trattare i campi scalari.