La costruzione dell'equazione

Ritenendo che i problemi di una densità non definita positiva e della presenza di soluzioni ad energia negativa fossero sostanzialmente dovuti alla presnza nell'equazione di Klein-Gordon di derivate seconde, Dirac decise di cercare un'equazione in cui comparissero soltanto le derivate prime, la scrisse allora come:

$$i\hbar {\partial{\psi}\over \partial t}=-i\hbar c\left( \alpha_1 ... ...x_1}+ \alpha_2 \pd{\psi},{x_2}+\alpha_3 \pd{\psi},{x_3}\right) +m c^2 \beta\psi$$ (3.8)

che è ancora nella forma:

$$i\hbar {\partial{\psi}\over \partial t}=H \psi \qquad\hbox{dove} \qquad H=c\alpha_i p^i+ m c^2\beta$$ (3.9)

e poi impose che questa fosse invariante, che desse una densità definita positiva e che iterata riportasse all'equazione di Klein-Gordon. Come vedremo subito con queste condizioni $\alpha_i$ e $\beta$ non possono essere numeri, per questo fece l'ipotesi generale che $\psi$ fosse un vettore colonna di funzioni:

$$\psi= \begin{pmatrix} \psi_1\cr \psi_2\cr \vdots\cr \psi_N\cr \end{pmatrix}$$

e $\alpha_i$ e $\beta$ matrici $N\times N$.

Vediamo allora come imponendo le condizioni richieste si determinino le proprietà di queste matrici; una prima, implicita nel fatto che lo spazio è isotropo e omogeneo, è che esse devono essere costanti; vogliamo poi che la (2.8) dia luogo ad un'equazione di continuità; allora prendiamone la coniugata che è:

$$-i\hbar {\partial{\psi^\dagger}\over \partial t}=i\hbar c\left(\p... ...er + \pd{\psi},{x_3} \alpha_3^\dagger \right) +m c^2 \psi^\dagger\beta^\dagger$$

adesso moltiplichiamo la (2.8) per $\psi^\dagger$ a sinistra e questa per $\psi$ a destra e sottraiamo l'una dall'altra; si ottiene:

$$i\hbar \left( \psi^\dagger {\partial{\psi}\over \partial t} + {\p... ...er \psi \right)+ m c^2 (\psi^\dagger\beta^\dagger\psi - \psi^\dagger\beta\psi)$$

adesso il primo membro di questa è proprio nella forma $\partial\rho/\partial t$ dove:

$$\rho=\psi^\dagger \psi=\sum_{i=1}^N \psi^*_i \psi_i \qquad\quad \big(\psi^\dagger=( \psi^*_1, \psi^*_2,\ldots, \psi^*_N)\big)$$

che è evidentemente definita positiva, resta da imporre che il secondo membro sia effettivamente una divergenza; da questo si ottiene subito che deve essere $\beta^\dagger=\beta$ per eliminare l'ultimo addendo che, non contenendo derivate, non può comunque ridursi ad una divergenza; rimane così solo il termine nella forma:

$$\psi^\dagger \alpha_i\pd{\psi},{x_i}+ \pd{\psi^\dagger},{x_i} \alpha_i^\dagger \psi$$

e questa è una divergenza se $\alpha_i^\dagger=\alpha_i$ nel qual caso si riduce a:

$$\pd{},{x_i} (\psi^\dagger\alpha_i \psi)$$

si ottengono così le due condizioni:

$$\alpha_i^\dagger=\alpha_i\qquad\hbox{e} \qquad \beta^\dagger=\beta$$ (3.10)

che si sarebbero potute ottenere anche imponendo che l'hamiltoniana $H$ nella (2.9) fosse hermitiana. In definitiva, applicate queste condizioni e diviso il tutto per $i\hbar$ si ottiene una equazione di continuità per la corrente $j^\mu$ definita come:

$$j^\mu=(c\rho,{\bf j})= (c\psi^\dagger \psi, c\psi^\dagger \boldsymbol{\alpha}\psi)$$

dove con $\boldsymbol{\alpha}$ si è indicato il vettore delle $\alpha_i$.

Resta da imporre l'ultima condizione, e cioè che la (2.8) iterata si riduca all'equazione di Klein-Gordon; esplicitamente si avrà:

$$\begin{aligned} -\hbar^2{\partial^2{\psi}\over \partial t^2}... ...a_k\beta\pd{\psi},{x_k} \right)+m^2c^4\beta^2\psi \end{aligned}$$

e vogliamo che questa si riduca alla (2.6), per cui dovremo eguagliare gli stessi termini delle derivate. Per il primo membro siamo già a posto; nel secondo vediamo subito che dal termine in $\psi$ deriva immediatamente che:

$$\beta^2=\un$$

mentre il termine nelle derivate prime, dato che $k$ e $i$ sono indici muti lo possiamo riscrivere direttamente come:

$$-i\hbar mc^3\left( \alpha_i\beta+\beta\alpha_i\right)\pd{\psi},{x_i}$$

e dunque:

$$\alpha_i\beta+\beta\alpha_i=0$$

per le derivate seconde invece bisogna stare attenti, infatti per il teorema di Schwartz esse sono simmetriche rispetto allo scambio degli indici, e quindi non tutti i termini della somma su $k$ e $i$ sono indipendenti, ad esempio non si potrà imporre che sia zero $\alpha_i\alpha_k$ perché anche $\alpha_k\alpha_i$ si riferisce allo stesso termine, questo termine però si può riscrivere simmetrizzandolo come:

$$\left({\alpha_i\alpha_k +\alpha_k\alpha_i\over 2}\right) {\partial^2\psi\over\partial x_i\partial x_k}$$

ed adesso si è cancellata la parte antisimmetrica (che nel prodotto era comunque nulla perché contratta con quella simmetrica) e queste sono tutte indipendenti, equindi si ottiene:

$$\alpha_i\alpha_k +\alpha_k\alpha_i=2\delta_{ik}\un$$

dunque in definitiva le relazioni che otteniamo sono:

queste relazioni, insieme alle (2.10), ci dicono anche che le matrici $\alpha_i$ e $\beta$ formano con l'identità un'algebra che è chiamata algebra di Dirac.

Se chiamiamo $\beta=\alpha_4$ introducendo l'anticommutatore possiamo ricompattare le tre equazioni precedenti nell'unica:

$$\{\alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij}\un \qquad\hbox{con}\qquad i,j=1\ldots 4$$ (3.12)

con queste equazioni possiamo cercare di determinare meglio le proprietà di queste matrici; la (2.12) ci dice che le $\alpha_j$ anticommutano, cioè che per $i\ne j$ si ha che:

$$\alpha_i\alpha_j=-\alpha_j\alpha_i=(-\un)\alpha_j\alpha_i$$

per cui se prendiamo i determinanti deve essere:

$$\det(\alpha_i)\det(\alpha_j)=\det(-\un)\det(\alpha_j)\det(\alpha_i)= (-1)^N\det(\alpha_j)\det(\alpha_i)$$

e se vogliamo, come richiesto dal fatto che $\alpha_j^2=\un$, che i determinanti non siano nulli, occorre che $N$ sia pari.

Un'altra proprietà è che le matrici devono essere a traccia nulla, sempre dall'anticommutazione infatti si ha che $\alpha_i=-\alpha_j\alpha_i\alpha_j$ per $i\ne j$ e dunque si ottiene:

$$\tr(\alpha_i)=-\tr(\alpha_j\alpha_i\alpha_j)=-\tr(\alpha_j^2\alpha_i) =-\tr(\alpha_i)$$

sfruttando la proprietà ciclica della traccia e la relazione $\alpha_j^2=\un$; per cui dovrà essere:

$$\tr(\alpha_i)=0\qquad\hbox{per}\qquad j=1\ldots 4$$

Si tratta allora di provare a trovare delle matrici che obbediscano a queste relazioni; il primo tentativo si può fare con $N=2$; in questo caso matrici idempotenti che commutano fra di loro le conosciamo già, e sono le tre matrici $\sigma$ di Pauli:

$$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\cr 1&0\cr \end{pmatrix}\qquad ... ...r \end{pmatrix}\qquad \sigma_z= \begin{pmatrix} 1&0\cr 0&-1\cr \end{pmatrix}$$

e queste sono a traccia nulla ed hermitiane, però sappiamo anche che queste più l'unità formano una base per le matrici $2\times 2$, cioè data una matrice $2\times 2$ qualsiasi $A$ essa può essere scomposta unicamente come:

$$A=a_0\un+a_k\sigma_k =a_0\un+{\bf a}\cdot\boldsymbol{\sigma}$$

ora se cerchiamo un'altra matrice che anticommuti con tutte le $\sigma$ e ne sia indipendente, da questa otteniamo che deve avere un $a_0$ non nullo, ed allora non può anticommutare, perché l'identità non lo fa mai.

Allora con $N=2$ il gioco non funziona; possiamo però vedere che con $N=4$ la cosa è possibile, e senza stare a far conti per trovarle si può verificare che se prendiamo:

$$\alpha_i= \begin{pmatrix}0&\sigma_i\cr \sigma_i&0\cr \end{pmatrix} \qquad \beta= \begin{pmatrix}\un& 0 \cr 0&-\un \cr \end{pmatrix}$$ (3.13)

(dove $\sigma_i$ e $\un$ e 0 sono matrici $2\times 2$) queste verificano tutte le (2.11) e sono a traccia nulla ed hermitiane. Abbiamo allora trovato quattro matrici che soddisfano le relazioni richieste e per questo vengono dette una ``rappresentazione'' dell'algebra definita dalle (2.11), ed in particolare questa è chiamata rappresentazione di Dirac.

L'espressione (2.13) non è l'unica possibile, si può dimostrare come una qualunque trasformazione unitaria $S$ di matrici che soddisfano le (2.11) è ancora una rappresentazione valida, la verifica è immediata usando la (2.12), infatti:

$$\alpha'_i\alpha'_j+\alpha'_j\alpha'_i= S\alpha_iS^{-1}S\alpha_jS^... ...alpha_iS^{-1} =S(\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i)S^{-1} =2\delta_{ik}SS^{-1}$$

quindi l'algebra è invariante, l'altra condizione è che le $\alpha'_i$ siano ancora hermitiane, ma:

$$(\alpha'_i)^\dagger=(S\alpha_i S^{-1})^\dagger= (S^{-1})^\dagger(\alpha_i)^\dagger S^\dagger= (S^{-1})^\dagger(\alpha_i)S^\dagger$$

ed essendo $S$ unitaria da $S^\dagger=S^{-1}$ segue $(S^{-1})^\dagger= S^{\dagger\dagger}=S$ e dunque:

$$(\alpha'_i)^\dagger=S\alpha_i S^{-1}=\alpha'_i$$

ecco dunque che da una rappresentazione se ne possono ottenere quante se ne vuole attraverso una trasformazione unitaria; la condizione di unitarietà è comunque necessaria, perché una trasformazione qualsiasi pur lasciando identica l'equazione di Dirac non conserverebbe la densità $\rho$ definita prima, è banale verificare invece che questo avviene per trasformazioni unitarie, che conservano anche la corrente j (quest'ultima condizione comunque non è strettamente necessaria dato che j è sempre definita a meno di un vettore solenoidale).

Trovata una rappresentazione dell'algebra di Dirac per $N=4$ sorge spontanea la domanda se ci possano essere altre rappresentazioni significative con $N>4$; si può dimostrare che ci sono rappresentazioni di quest'algebra per ogni $N$ multiplo di 4, ma che esse non hanno alcun significato fisico ulteriore dando luogo ad equazioni disaccopiate che si riducono a quella con $N=4$.