La quadricorrente

Abbiamo appena dimostrato la covarianza dell'equazione di Dirac trovando la matrice di trasformazione degli spinori ed alcune sue proprietà; perché la prova sia completa però non basta che lo spinore trasformato continui ad obbedire all'equazione di Dirac, occorre anche che dia luogo alla stessa quadricorrente, così come l'avevamo vista al §2.2.1.

Allora anzitutto dovremo esprimere la quadricorrente $j^\mu$ in termini della matrici $\gamma ^\mu$; per farlo consideriamo che la densità è:

$$\rho=\psi^\dagger\psi=\psi^\dagger\gamma^0\gamma^0\psi$$

mentre la corrente spaziale:

$${\bf j}=c\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi =c\psi^\dagger\gamma^0\boldsymbol{\gamma}\psi$$

dalle quali è immediato ottenere che:

$$j^\mu=c\psi^\dagger\gamma^0\gamma^\mu\psi =c\bar \psi\gamma^\mu\psi$$ (3.39)

dove si è definito lo spinore aggiunto $\bar \psi$ come:

adesso si può cercare l'equazione a cui obbedisce questo; dalla coniugata della (2.18), usando la (2.21) si ottiene:

$$-i\hbar {\partial{\psi^\dagger}\over \partial x^\mu}\gamma^0\gamma^\mu\gamma^0-mc\psi^\dagger =0$$

e adesso se si cambia segno e si moltiplica a destra per $\gamma^0$ si ottiene banalmente:

$$i\hbar {\partial{\bar\psi}\over \partial x^\mu}\gamma^\mu+mc\bar\psi= \bar\psi \left( {\partial{}\over \partial x^\mu}\gamma^\mu+mc\right) = 0$$ (3.41)

una equazione che viene detta l'aggiunta dell'equazione di Dirac originale.^3.2 Con questa e con la (2.18) è immediato ottenere l'equazione di continuità moltiplicando la prima a destra per $\psi$ e la seconda a sinistra per $\bar \psi$.

Adesso, se consideriamo una trasformazione di Lorentz, dobbiamo vedere cosa fa $j^\mu$, scrivendola esplicitamente si avrà:

$$j'^\mu(x')=c\bar\psi'(x')\gamma^\mu\psi'(x')=$$

ma evidentemente:

$$\bar\psi'(x')=\psi'(x')^\dagger\gamma^0=(S(\Lambda)\psi(x))^\dagger \gamma^0 =\psi^\dagger(x) S^\dagger(\Lambda) \gamma^0$$

ma sappiamo che $S^\dagger=\gamma^0 S^{-1}\gamma^0$ per cui è anche:

$$S^\dagger(\Lambda)\gamma^0=\gamma^0 S^{-1}(\Lambda)$$

che sostituita sopra da:

$$\bar\psi'(x')=\psi^\dagger(x)\gamma^0 S^{-1}(\Lambda)=\bar\psi(x)S^{-1}(\Lambda)$$ (3.42)

e si ottiene l'importante risultato che lo spinore aggiunto trasforma con l'inversa; allora usando questa relazione nell'espressione della quadricorrente si ha:

$$j'^\mu= c\bar\psi[S(\Lambda)^{-1}\gamma^\mu S(\Lambda)]\psi$$

adesso però possiamo sfruttare la (2.25) per il fattore in parentesi quadra; ottenendo:

$$j'^\mu= c\bar \psi \Lambda^\mu_{\ \nu} \gamma^\nu\psi= \Lambda^\mu_{\ \nu} c\bar\psi\gamma^\nu\psi= \Lambda^\mu_{\ \nu} j^\nu$$

e dunque si è ottenuto che, come deve essere, la quadricorrente trasformata è esattamente il quadrivettore che si ottiene dall'originaria $j^\mu$ con la stessa trasformazione di Lorentz.