Cenni di analisi tensoriale

Le relazioni (1.1) e (1.2) ci dicono che in relatività ristretta il tempo e la distanza fra due punti non sono più invarianti, ma dipendono dal sistema di riferimento. Questo comporta che non è più possibile utilizzare l'ordinario spazio euclideo a tre dimensioni per esprimere le leggi fisiche, e che si deve rinunciare a trattare separatamente coordinate spaziali e temporali; occorre cioè utilizzare lo spazio di Minkowsky introdotto sommariamente al paragrafo precedente.

Per esprimere le leggi fisiche in maniera indipendente dal sistema di riferimento dovremo eguagliare grandezze dello stesso tipo (scalari, vettori, tensori, ecc.) che trasformano nello stesso modo in un cambiamento di coordinate, così che le relazioni ottenute in un qualunque sistema inerziale resteranno valide in tutti gli altri; per questo ci occorre l'armamentario matematico dell'analisi tensoriale.

Esprimeremo le componenti di un generico vettore dello spazio di Minkowsky con la notazione $a^\mu=(a_0,a_i)=(a_0,\mathbf{a})$, usando indici greci per le componenti in 4 dimensioni e indici romani per le componenti tridimensionali relative alla parte nello spazio ordinario; così il vettore delle coordinate si potrà scrivere come $x^\mu=(ct,x_i)=(ct,\mathbf{x})$. Useremo anche la notazione matriciale indicando $a^\mu$ col vettore colonna delle 4 componenti $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$. Infine, seguendo la consuetudine dell'analisi tensoriale, adotteremo la notazione di sommatoria, per la quale si sottintende una sommatoria su tutti gli indici ripetuti.

Lo spazio di Minkowsky, a differenza dello spazio tridimensionale ordinario, non è euclideo, infatti in esso non è invariante la usuale norma di un vettore, definita come la radice di $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$, ma la forma (1.1) che viene così a definire la distanza fra due vettori. Siccome la differenza è solo per il segno meno nella prima componente lo spazio viene detto pseudoeuclideo.

La (1.1) si può riscrivere in forma infinitesimale come:

$$ds^2 = dx_0^2 - dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2$$ (2.9)

che si può esprimere in forma più generale:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ (2.10)

dove $g_{\mu\nu}$ è il tensore che con questa relazione definisce la distanza fra due punti e viene pertanto chiamato tensore metrico.

La (1.10) è una relazione che si può scrivere anche per spazi curvi più generali di quello di Minkowsky; essa ci dice che $g_{\mu\nu}$ è sempre un tensore simmetrico, infatti essendo comunque $dx^\mu dx^\nu = dx^\nu dx^\mu$, ed e potendo chiamare gli indici come si vuole, si ha che:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = g_{\nu\mu} dx^\nu dx^\mu = g_{\nu\mu} dx^\mu dx^\nu$$ (2.11)

e dunque $g_{\nu\mu}=g_{\mu\nu}$. Il confronto fra la (1.9) e la (1.11) ci da l'espressione esplicita di $g_{\mu\nu}$ che (espresso in forma matriciale) nel caso di spazio di Minkowsky è:

$$g = \begin{pmatrix}1& 0& 0& 0\cr 0&-1& 0& 0\cr 0& 0&-1& 0\cr 0& 0& 0&-1\cr \end{pmatrix} = g_{\mu\nu}$$ (2.12)

si noti anche che per lo spazio di Minkowsky $g^2=I$, cioè $g=g^{-1}$.

Il tensore metrico è quello che permette di definire in maniera generale il prodotto scalare di due vettori dello spazio di Minkowsky; dato che si è usato il tensore metrico esso ovviamente è invariante, e lo si può esprimere con la relazione matriciale come:

$$a\cdot b=a^t g b \quad (=g_{\mu\nu} a^\mu b^\nu)$$ (2.13)

(dove con $a^t$ si intende il vettore riga).

Come si può notare abbiamo usato per $g_{\mu\nu}$ gli indici in basso al contrario di quanto fatto con $a^\mu$ e $b^\nu$; questo perché in generale, quando si ha a che fare con spazi non euclidei, si hanno due tipi di vettori.

La distinzione introdotta fra questi due tipi di vettori è dovuta al fatto che, in generale, data una qualunque legge di trasformazione delle coordinate del tipo:

$$x^{\prime\mu} = x^{\prime\mu}(x_0,x_1,x_2,x_3) = x^{\prime\mu}(x^\nu)$$ (2.14)

(quindi non necessariamente lineare) si possono sempre avere due diverse proprietà di trasformazione. Allora si dice che un oggetto è un vettore controvariante, e si pone l'indice in alto, se esso trasforma secondo la legge:

$$a'^\alpha = {\partial x'^\alpha \over \partial x^\beta} a^\beta$$ (2.15)

e cioè con lo jacobiano delle leggi di trasformazione. Invece si dice che un oggetto è un vettore covariante, e si pone l'indice in basso, se esso trasforma secondo la legge:

$$b'_\alpha={\partial x^\beta \over \partial x'^\alpha} b_\beta$$ (2.16)

e cioè con la matrice inversa dello jacobiano.

L'estensione a tensori (covarianti, controvarianti e misti) di qualunque rango è immediata introducendo altrettante matrici di trasformazione per ciascuno degli indici in gioco; ad esempio per un tensore misto di rango tre, avremo qualcosa del tipo:

$${c'}_{\alpha\gamma}^\mu = {\partial x^\beta \over \partial x'^\a... ...partial x'^\gamma} {\partial x'^\nu \over \partial x^\mu} c_{\beta\delta}^\nu$$

Da queste definizioni e dalle proprietà di trasformazione dei differenziali delle coordinate, che l'analisi matematica ci dice essere nella forma:

$$dx'^\mu=\pd{x'^\mu},{x^\nu} dx^\nu$$ (2.17)

si ottiene subito che il differenziale delle coordinate è, in maniera assolutamente generale, ed indipendente dal tipo di spazio, un vettore controvariante. Nel nostro caso poi, avendo a che fare con trasformazioni lineari, la proprietà si estende immediatamente per integrazione anche al vettore delle coordinate.

La (1.10) ci dice anche che $g_{\mu\nu}$ è effettivamente un tensore covariante di rango due, come si può verificare facilmente con un po' di conti a partire dalla (1.17) tenendo conto che $ds$ è invariante.

Col tensore metrico si può poi passare da vettori controvarianti a covarianti e viceversa, secondo le relazioni:

$$a_\mu = g_{\mu\nu}a^\nu \qquad\hbox{e}\qquad a^\mu = g^{\mu\nu}a_\nu$$ (2.18)

dove il tensore metrico controvariante si ottiene da $g_{\mu\nu}$ per semplice inversione, dato che la relazione $gg^{-1}=I$, espressa in componenti, non è altro che:

$$g_{\mu\nu} g^{\nu\lambda} = \delta_\mu^\lambda \qquad\qquad\hbox{(con $\delta_\mu^\lambda$ \textsl{delta di Kronecker})}$$

Nel nostro caso poi abbiamo visto che $g^2=I$ e $g=g^{-1}$ per cui si ha anche che $g_{\mu\nu} = g^{\mu\nu}$ e come regola generale si avrà che da $a^\mu = (a_0, {\bf a})$ si ottiene un $a_\mu=(a_0, -{\bf a})$.

Possiamo ora vedere cosa significa tutto questo avendo a che fare con lo spazio di Minkowsky e con le trasformazioni di Lorentz generiche, di cui la $\Lambda$ vista in (1.6) è un caso particolare. Scriveremo le leggi di trasformazione come:

$$x' =\Lambda x \quad\hbox{cioè }\quad x'^\alpha = \Lambda^\alpha_{\ \beta} x^\beta$$ (2.19)

e sappiamo che $\Lambda$ deve essere una trasformazione lineare e deve conservare la metrica della forma (1.9). Da questo avremo che, per $x, y$ qualunque, dovrà essere:

$$y' \cdot x' = y'^t g x' = y^t g x =y \cdot x$$

che scritta esplicitamente ci dice che:

$$y^t \Lambda^t g \Lambda x =y^t g x$$

dalla quale, essendo $x, y$ qualunque, segue la proprietà generale delle trasformazioni di Lorentz:

$$\Lambda^t g \Lambda = g \quad\hbox{cioè}\quad g \Lambda = (\Lambda^t)^{-1} g =(\Lambda^{-1})^t g$$ (2.20)

che in componenti è:

$$g_{\mu\nu} \Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} = g_{\alpha\beta}$$ (2.21)

La (1.19) ci dice immediatamente che il vettore delle coordinate, che è controvariante, trasforma con $\Lambda$;^2.1 dalla (1.20) otteniamo esplicitamente anche le proprietà di trasformazione dei vettori covarianti, infatti se prendiamo $gx$ otteniamo che $(gx)' = g\Lambda x = (\Lambda^{-1})^t(gx)$, quindi un vettore controvariante trasforma secondo $(\Lambda^{-1})^t$; dobbiamo verificare che questa corrisponde alla espressione generale vista prima, calcoliamo:

$${\partial x^\beta \over \partial x'^\alpha} = {\partial\over\par... ...eta_{\ \gamma} \delta^\gamma_\alpha = \big(\Lambda^{-1}\big)^\beta_{\ \alpha}$$

e questa non è altro che $\big((\Lambda^{-1})^t\big)^\alpha_{\ \beta}$ cioè $(\Lambda^{-1})^t$.

La precedente definizione generale dei vettori covarianti e controvarianti ci mostra poi una proprietà generale delle derivate delle coordinate; infatti dall'analisi si sa che le derivate delle coordinate in un cambiamento di variabili trasformano secondo la legge:

$${\partial \over \partial x'^\alpha} = {\partial x^\beta \over \partial x'^\alpha} {\partial \over \partial x^\beta}$$ (2.22)

dunque le derivate delle coordinate (la generalizzazione del $\nabla$) formano un vettore covariante. In realtà la relazione precedente vale in maniera completamente generale solo se le derivate sono applicate ad uno scalare (cioè per il gradiente); nel caso di un vettore (o di un tensore) in generale si avrà che:

$${\partial V'^\mu \over \partial x'^\lambda}= {\partial \over \pa... ... \partial x'^\lambda} {\partial^2 x'^\mu \over\partial x^\rho \partial x^\nu}$$

e adesso il primo termine è quello giusto, ma si ha anche il secondo (quello che in coordinate curvilinee porta ai cosiddetti simboli di Christoffel). Nel nostro caso comunque le trasformazioni sono lineari e quindi le derivate seconde sono nulle ed il secondo pezzo sparisce; l'operazione di derivazione perciò viene effettivamente a costituire, limitandoci alla relatività ristretta, un vettore covariante, non altrettanto accade però in relatività generale.

Adesso possiamo scrivere esplicitamente l'operatore gradiente nello spazio di Minkowsky; ricordando che $x_0=ct$ si ottiene:

$${\partial{}\over \partial x^\mu}= \left( \pd{},{x_0},\pd{},{x_1},... ...2},\pd{},{x_3}\right)= \big({1\over c}{\partial{}\over \partial t},\nabla\big)$$

e questo trasforma come un vettore covariante. Si può anche ottenere l'analogo controvariante usando il tensore metrico come:

$$\pd{},{x_\mu}=g^{\mu\nu}{\partial{}\over \partial x^\mu}=\big({1\over c}{\partial{}\over \partial t},-\nabla\big)$$

e per snellire la notazione si usa poi scrivere:

$$\partial_\mu = {\partial{}\over \partial x^\mu} \ee \partial^\mu = \pd{},{x_\mu}$$

infine si trova che il modulo di $\partial_\mu$ è una vecchia conoscenza infatti si ha:

$$\partial_\mu \partial^\mu = {1\over c^2} {\partial^2{}\over \partial t^2} - \nabla^2 = \Box$$

e questo ci dice il dalambertiano è uno scalare invariante. Se poi $A^\mu$ è un campo vettoriale quadridimensionale si può definire una analogo della divergenza tridimensionale come:

$$\div{A^\mu} = {\partial{}\over \partial x^\mu} A^\mu(x) = \partial_\mu A^\mu$$

ed anche questo è uno scalare invariante.

La (1.20) ci dice anche che $\hbox{det }g = \hbox{det }g\, (\hbox{det}\Lambda)^2$ da cui segue, poiché $\hbox{det }g=-1$, che:

$$\hbox{det }\Lambda=\pm 1$$

esistono quindi due classi di trasformazioni, le trasformazioni di Lorentz proprie, continue con l'identità, per cui è necessariamente $\hbox{det }\Lambda=1$ e le trasformazioni di Lorentz improprie. Per quest'ultime la condizione $\hbox{det }\Lambda=-1$ è sufficiente, ma non necessaria per via della metrica che non è definita positiva; infatti sono trasformazioni improprie sia $\Lambda=g$, con $\hbox{det }\Lambda=-1$, che $\Lambda=-\un$ con $\hbox{det }\Lambda=1$.

Un'altra proprietà generale delle trasformazioni $\Lambda$ è il numero di parametri necessari per specificare completamente una matrice del gruppo. In generale le matrici $4\times 4$ hanno 16 componenti, ma noi abbiamo la relazione (1.20), che rappresenta 16 equazioni per gli elementi di $\Lambda$. Però, dato che l'equazione è simmetrica per trasposizione, le componenti indipendenti sono solo 10, restano quindi alla fine sei parametri liberi, tre di questi possono essere identificati con i tre angoli di Eulero delle rotazioni spaziali, e gli altri con i parametri (ad esempio le componenti della velocità relativa) associati ai boost di Lorentz.

Se usiamo le espressioni viste in §1.1 per le trasformazioni di Lorentz possiamo vedere come trasformano le componenti di un vettore nello spazio di Minkowsky passando da un riferimento inerziale ad un altro; una formula molto utile che da la trasformazione di un qualunque quadrivettore per un boost di Lorentz di velocità $\mathbf{v}$ è:

dove $\boldsymbol{\beta} = {\bf v}/c$ e gli indici $\Vert$ e $\perp$ indicano le componenti parallela e perpendicolare di $\mathbf{A}$ alla velocità $\mathbf{v}$.

L'analisi tensoriale ci dice che il prodotto scalare di due quadrivettori è invariante, così come la norma di un vettore, ma dato che lo spazio di Minkowsky non è euclideo, essa non è definita positiva. Si introduce allora una distinzione a seconda che sia positiva, negativa o nulla chiamando rispettivamente il vettore di tipo spazio (space-like), tempo (time-like) o luce (light-like). La distinzione si introduce rifacendosi alla distanza quadridimensionale fra due eventi:

$$s_{12} = c(t_1-t_2)^2 - \vert{\bf x}_1 - {\bf x}_2\vert^2$$

se $s_{12}>0$ infatti è possibile trovare una trasformazione di Lorentz per la quale è ${\bf x}_1 = {\bf x}_2$ (basta prendere $\boldsymbol{\beta} = \vert{\bf x}_1 - {\bf x}_2\vert/c(t_1-t_2)$ ed è ovviamente $\beta<1$) cioè c'è un sistema inerziale in cui gli eventi avvengono nello stesso punto in tempi diversi. Viceversa se $s_{12}<0$ si può trovare una trasformazione di Lorentz per cui è $t_1 = t_2$, cioè c'è un sistema inerziale in cui gli eventi sono simultanei.

Nonostante le loro semplici proprietà di trasformazione, i tensori non sono le sole quantità interessanti; ad esempio una quantità che non è un tensore ma che è molto importante è l'elemento di volume (quadridimensionale). Un teorema fondamentale del calcolo integrale ci dice infatti che esso si trasforma secondo la legge:

$$d^4 x'= \left\Vert {\partial x'\over \partial x}\right\Vert d^4x$$

cioè col determinante dello jacobiano della trasformazione. Nel nostro caso le trasformazioni sono lineari e date da $\Lambda$, per cui avremo che $d^4 x' =\det \Lambda d^4 x = \pm d^4 x$. Per questa proprietà l'elemento di volume è detto anche pseudoscalare.

Un'altra quantità che ha un comportamento simile è il determinante della metrica:

$$g = -\det g_{\mu\nu}$$

la legge di trasformazione di $g_{\mu\nu}$ ci dice che:

$$g_{\mu\nu}'= {\partial x^\rho \over \partial x'^\mu}{\partial x^\sigma \over\partial x'^\nu} g_{\rho\sigma}$$

da cui segue, per la proprietà del determinante per cui $\det AB=\det A\det B$, che:

$$g'= \left\Vert {\partial x\over \partial x'}\right\Vert^2 g = \left\Vert {\partial x'\over \partial x}\right\Vert^{-2} g$$ (2.24)

in questo caso la matrice trasforma con l'inverso del quadrato del determinante dello jacobiano. In uno spazio di Minkowsky allora, dato che $\det \Lambda=\pm 1$, $g$ è invariante.

Quantità come l'elemento di volume o $g$, che trasformano acquisendo fattori del determinante jacobiano, sono dette densità scalari. Allo stesso modo quantità che trasformano come tensori con l'aggiunta di fattori del determinante jacobiano sono dette densità tensoriali; il numero di fattori di $\Vert \partial x'/\partial x\Vert$ è chiamato peso della densità; nel nostro caso $g$ è una densità scalare di peso $-2$.

In generale una densità tensoriale di peso $n$ trasformerà con la legge:

$${\cal A}'^\nu_\mu= \left\Vert {\partial x'\over \partial x}\right... ...partial x'^\mu} {\partial x'^\nu \over\partial x^\sigma} {\cal A}_\rho^\sigma$$

che può essere riscritta, facendo ricorso alla (1.24), anche come:

$$g'^{n/2}{\cal A}'^\nu_\mu= g^{n/2} {\partial x^\rho \over \partial x'^\mu} {\partial x'^\nu \over\partial x^\sigma} {\cal A}_\rho^\sigma$$

Infine si può notare che moltiplicando due densità di peso opposto si ottiene una quantità scalare; ad esempio se prendiamo $\sqrt{g}d^4x$ abbiamo uno scalare invariante.

Una quantità di fondamentale importanza è il tensore di Ricci (chiamato anche tensore di Levi-Civita), definito come:

$$\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}= \begin{cases}1& \hbox{per $\a... ...edenti valori}\cr 0& \hbox{se gli indici non sono tutti diversi}\cr \end{cases}$$ (2.25)

(si noti che è analogo al tensore di Ricci tridimensionale $\epsilon_{ijk}$ con cui nello spazio euclideo si definiscono i prodotti vettoriali come $C_i=\epsilon_{ijk}A_jB_k$).

Il tensore di Ricci è un tensore molto particolare, infatti in uno spazio di dimensione quattro le matrici di rango 4 completamente antisimmetriche hanno una sola componente indipendente (costituiscono cioè uno spazio monodimensionale), quindi $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ è una base per tale spazio.

Per capire bene con cosa si ha a che fare però dobbiamo studiarne le proprietà di trasformazione; allora consideriamo l'espressione:

$$A^{\mu\nu\rho\sigma}= {\partial x'^\mu \over\partial x^\alpha}{\p... ...{\partial x'^\sigma \over\partial x^\delta} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$$

se scambiamo tra loro due indici qualsiasi (ad esempio $\mu$ e $\nu$) avremo:

$$A^{\nu\mu\rho\sigma}= {\partial x'^\nu \over\partial x^\alpha}{\p... ...{\partial x'^\sigma \over\partial x^\delta} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$$

e questa, per l'antisimmetria di $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ ci da:

$$A^{\nu\mu\rho\sigma}=- {\partial x'^\mu \over\partial x^\beta}{\p... ...{\partial x'^\sigma \over\partial x^\delta} \epsilon^{\beta\alpha\gamma\delta}$$

ma gli indici $\alpha$ e $\beta$ sono muti (cioè sono indici contratti su cui si somma) per cui li si possono chiamare come si vuole, per cui si ottiene:

$$A^{\nu\mu\rho\sigma}=- {\partial x'^\mu \over\partial x^\alpha}{\... ...ver\partial x^\delta} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=-A^{\mu\nu\rho\sigma}$$

il ragionamento si può applicare a qualsiasi altra coppia di indici, dunque $A^{\mu\nu\rho\sigma}$ è una quantità completamente antisimmetrica negli indici $\mu\nu\rho\sigma$, quindi per quanto detto prima deve essere proporzionale a $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$. Per determinare la costante di proporzionalità basta prendere un elemento qualunque del tensore, allora se come valori per gli indici $^{\mu\nu\rho\sigma}$ prendiamo la sequenza di riferimento $^{1234}$ e sviluppiamo le somme, e quello che si ottiene non è altro che la definizione del determinante di ${\partial x'^\mu /\partial x^\alpha}$, quindi si ha la relazione fondamentale:

$${\partial x'^\mu \over\partial x^\alpha} {\partial x'^\nu\over\pa... ... \left\Vert{\partial x'\over \partial x}\right\Vert \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$ (2.26)

e questa ci dice che il tensore di Ricci è una densità tensoriale di peso $-1$, che si può trasformare in un tensore ordinario moltiplicandolo per $1/\sqrt g$.

Da $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ si può ricavare subito anche $\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}$ essendo:

$$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}= g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}g_{\rho\gamma}g_{\sigma\delta} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$

e al solito questo è completamente antisimmetrico e quindi proporzionale a $\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ e con lo stesso procedimento di prima si ha che la costante di proporzionalità è $-g=\det g_{\mu\nu}$, dunque:

$$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=-g \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$$ (2.27)

Queste relazioni si semplificano immediatamente nel caso della relatività ristretta; in tal caso infatti le trasformazioni sono lineari e $g=1$ per cui la (1.26) diventa:

$$\Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda^\nu_{\ \beta} \Lambda^\rho_{\ \gam... ...a} \epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}= \det \Lambda \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$ (2.28)

mentre la (1.27) diventa $\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=-\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$. Un'altra relazione utile poi è $\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}=4!$.

Il tensore di Ricci è importante perché come l'equivalente tridimensionale $\epsilon_{ijk}$ è quello che permette di definire gli analoghi del prodotto vettoriale e del rotore anche in uno spazio a quattro dimensioni, dove le cose sono ovviamente diverse, dato che in questo caso le matrici antisimmetriche non hanno, come nello spazio tridimensionale, tre componenti indipendenti assimilabili a quelle di un vettore, ma sei.

L'analogo del prodotto vettoriale di due quadrivettori allora non è più un quadrivettore ma il tensore antisimmetrico di rango due definito dalla relazione:

$$P_{\mu\nu}={1\over 2}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}A^\alpha B^\beta$$

si può poi definire il duale (o coniugato) di un tensore doppio come:

$${\cal T}^{\mu\nu} ={}^*T^{\mu\nu}={1\over 2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}T_{\alpha\beta}$$ (2.29)

dal quale si definisce il rotore (sempre di un tensore doppio) come:

$$(\rot T_{\alpha\beta})=(\rot T_{\alpha\beta})^\mu= {1\over 2}\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\partial_\nu T_{\alpha\beta} =\partial_\nu ^*T^{\mu\nu}$$ (2.30)

che è appunto un quadrivettore, e come si può notare questa definizione è assolutamente identica a quella data in tre dimensioni per cui $(\rot A)_i= \half \epsilon_{ijk}\partial_j A_k$.

Facendo i conti si può poi facilmente verificare che la (1.30) può essere riscritta anche come:

$$(\rot T)^\mu= \partial_\alpha T_{\beta\gamma} + \partial_\gamma T_{\alpha\beta} + \partial_\beta T_{\gamma\alpha}$$

dove deve essere $\mu\ne\alpha\ne\beta\ne\gamma$.